Prima di iniziare l'attività, si sottolinea che un quadrato rimane un quadrato anche se ruotato, come mostrato in figura.

Nel file segmenti_quadrati_esercizi.pdf viene richiesto di costruire un quadrato su ogni segmento mostrato, cioè disegnare un quadrato che abbia come lato il segmento. Costruire un quadrato su segmenti né orizzontali né verticali non è semplice, e richiede spesso alcuni tentatvi - aggiustando il tiro di volta in volta - prima di arrivare al disegno corretto. Sottolineiamo che su molti segmenti si possono costruire due quadrati, uno "sopra" il segmento e uno "sotto".
Prenendo spunto dalla scheda quadrati_arte_esercizi.pdf, gli studenti saranno liberi di creare una loro configurazione personalizzata: l'unica regola è che si possono disegnare solo quadrati, in qualsiasi posizione si preferisca. Le tavole di Dekart su cui creare la propria configurazione si trovano nella sezione ALLEGATI.

DEKART GAME

Con l'ausilio della L.I.M. o in aula informatica, si può quindi giocare a DEKART GAME (disponibile sul sito www.oiler.education/dekart). Nella pagina principale del gioco, si seleziona la modalità QUADRATO e la modalità AREA.

La modalità QUADRATO chiede di disegnare un quadrato noto un lato. Alcune volte le risposte corrette sono due, simmetriche rispetto al segmento di partenza.
Se si sbaglia a disegnare un segmento si può fare click sul pulsante UNDO per tornare indietro.

Dopo che la classe avrà sviluppato una certa familiarità e sicurezza nel disegnare i quadrati, si può condividere una strategia per disegnarli sempre in maniera più veloce. Facendo riferimento all'ombra verticale e all'ombra orizzontale del segmento (viste nell'attività I segmenti) si svela il segreto: il primo segmento da disegnare è tutto il contrario del segmento su cui si vuole costruire il quadrato! Nell'esempio mostrato nella figura sopra, il segmento su cui si vuole costruire il quadrato è in salita con ombra orizzontale lunga 3 e ombra verticale lunga 2. Il primo segmento da disegnare è quindi in discesa con ombra orizzontale lunga 2 e ombra verticale lunga 3 (le lunghezze delle ombre si scambiano).

La modalità AREA chiede invece di calcolare l’area del quadrato mostrato sul piano cartesiano, scegliendo fra 5 possibili risposte. Per calcolare l’area dei quadrati la classe userà la Formula di Pick, vista nell'attività I poligoni e la battaglia navale. Se il quadrato ha base orizzontale, si può facilitare il calcolo dell'area usando la classica formula lato per lato. Nell'esempio in figura, l'area del quadrato è 8 perché, avendo 5 punti interni e 8 sul bordo, si ottiene 5 + 8 ÷ 2 - 1 = 5 + 4 - 1 = 8.

Se gli studenti già conosco il teorema di Pitagora, possono chiaramente usarlo per calcolare le aree. In ogni caso, la successiva attività offre spunti sia per una prima introduzione sia per un ripasso del teorema.

IL TEOREMA DI PITAGORA

Si procede a un'attività di scoperta che ha come obiettivo la scoperta della classica relazione espressa dal teorema di Pitagora:

In un triangolo rettangolo, l'area del quadrato costurito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti

Nel parlare di un triangolo rettangolo disposto come in figura, non useremo più le parole segmento, ombra orizzontale e ombra verticale, ma semplicemente l'usuale terminologia cateti e ipotenusa (che si applica anche a triangoli disposti in modo diverso).
Si divide la classe in piccoli gruppi di lavoro e si consegna la scheda scoperta_teorema_pitagora.pdf che si trova nella sezione ALLEGATI. Nella scheda si chiede di disegnare un segmento con le sue ombre e di costruire un quadrato sul segmento e uno su ciascuna ombra. Si lascia la classe libera di esplorare la situazione, cercando una relazione nascosta fra i tre quadrati disegnati; durante l'attività di ricerca l'insegnante può suggerire di calcolare le aree dei quadrati disegnati. È opportuno ripetere la costruzione con più segmenti diversi.
Si giunge quindi alla conclusione condivisa che l'area del quadrato costruito sul segmento è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sulle ombre. Si può consegnare alla classe teorema_di_pitagora.pdf per chiarire e approfondire il discorso.
Se lo si ritiene opportuno, si può presentare la figura di Pitagora di Samo: la scheda personaggio si trova nella sezione ALLEGATI.

RIFLETTERE SUL TEOREMA DI PITAGORA

Una dimostrazione rigorosa del teorema di Pitagora esula dagli obiettivi del primo ciclo. Tuttavia, ragionare a livello grafico su costruzioni che illustrano e spiegano il teorema di Pitagora, come le due mostrate in figura, risulta stimolante.

Le due costruzioni, che si trovano anche nella sezione ALLEGATI, sono tratte dal libro Proofs Without Words di Roger B. Nelsen. Per ciascuna delle due costruzioni è presente una scheda di lavoro e un'immagine da ritagliare.
Nella prima delle due costruzioni ci sono due figure: uno stesso quadrato viene scomposto in due modi diversi. Nel primo caso il quadrato è composto da 4 triangoli rettangoli - tutti uguali fra loro - e da un quadrato; nel secondo caso lo stesso quadrato grande è composto da 4 triangoli rettangoli - uguali ai precedenti - e da 2 quadrati. Per differenza si vede che l'area del quadrato contenuto nella prima figura è uguale alla somma delle aree dei due quadrati contenuti nella seconda figura.
Nella seconda costruzione il quadrato costruituo sull'ipotenuta è scoposto in 5 parti (un quadrato e 4 quadrilateri): i 4 quadrilateri compongono il quadrato costruito sul cateto maggiore, mentre il quadrato blu è proprio il quadrato costruito sul cateto minore.

Sottolineiamo infine che, pur riferendosi il Teorema di Pitagora ai quadrati, vale una generalizzazione a tutte le figure simili fra loro (nel senso delle similitudini geometriche). In particolare mostriamo di segutio i casi relativi ai semicerchi, con i diametri posti sui tre lati, e ai triangoli equilateri. In ogni figura, la somma delle aree arancioni è uguale all'area verde.

APPROFONDIMENTO: IL TRIANGOLO EQUILATERO

Si divide la classe a coppie o in piccoli gruppi e si consegna, a ogni coppia, una tavola di Dekart (disponibile nella sezione ALLEGATI).
Si chiede quindi di costruire un triangolo che abbia tre lati di ugual lunghezza - ossia un triangolo equilatero - i cui vertici siano tutti e tre su punti della griglia, cioè su coordinate intere.
In altre parole, il primo dei due triangoli qui sotto è un triangolo valido (che però non è equilatero) mentre il secondo no, perché il vertice in alto del triangolo non è su un punto della griglia.

Anche se esaudire la richiesta è in realtà impossibile, si lascierà alla classe il tempo necessario per cominciare a dubitarne in autonomia. Sarà poi interessante far condividere e discutere argomenti a favore o contrari del perché la costruzione sia impossibile, del perché non possa esistere cioè un triangolo equilatero che abbia tutti i vertici su punti della griglia. Un'altra questione interessante è poi capire - sulla tavola di Dekart - quale sia il triangolo con tutti i punti sulla griglia il "più equilatero possibile", ossia un triangolo i cui lati sono sì diversi, ma non di molto.